1967 AMC 12 Problema 25

Question

Para todo número impar

p\gt1

se cumple:

For every odd number

p\gt1

we have:

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

es divisible entre

p-2

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

is divisible by

p-2

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

es divisible entre

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

is divisible by

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}

es divisible entre

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}

is divisible by

p

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

es divisible entre

p+1

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1

is divisible by

p+1

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

es divisible entre

p-1

(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1

is divisible by

p-1

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad aritmética modular exponente

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Trabaja módulo

p-2

para la opción (A)

Work modulo

p-2

for choice (A)

Pista grande:

Como

p-1\equiv1\pmod{p-2},

toda potencia positiva tiene el mismo residuo

Since

p-1\equiv1\pmod{p-2},

every positive power has the same residue

Solución:

Como

p\gt1

es impar,

n=\frac{p-1}{2}

es un entero positivo. Módulo

p-2,

tenemos

p-1\equiv1.

Por lo tanto,

\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}

Así, la opción (A) siempre se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because

p\gt1

is odd,

n=\frac{p-1}{2}

is a positive integer. Modulo

p-2,

we have

p-1\equiv1.

Therefore

\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}

Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años