1969 AMC 12 Problema 28

Question

Sea

n

el número de puntos

P

interiores a un círculo de radio

1,

tales que la suma de los cuadrados de las distancias de

P

a los extremos de un diámetro dado es

3.

Entonces,

n

es:

Let

n

be the number of points

P

interior to the region bounded by a circle with radius

1,

such that the sum of the squares of the distances from

P

to the endpoints of a given diameter is

3.

Then

n

is:

0

1

2

4

infinito

infinite

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia círculo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Coloca el círculo con centro en el origen y extremos del diámetro

(-1,0)

y

(1,0)

Place the circle at the origin with diameter endpoints

(-1,0)

and

(1,0)

Pista grande:

Simplifica la suma de las dos distancias al cuadrado

Simplify the sum of the two squared distances

Solución:

Sea

P=(x,y)

y toma como extremos del diámetro

(-1,0)

y

(1,0).

La condición se convierte en

\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}

Así,

x^2+y^2=\frac{1}{2}.

Esta es una circunferencia completa de radio

\frac{1}{\sqrt2},

situada dentro del círculo unitario dado. Contiene infinitos puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

P=(x,y)

and take the diameter endpoints as

(-1,0)

and

(1,0).

The condition becomes

\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}

Thus

x^2+y^2=\frac{1}{2}.

This is an entire circle of radius

\frac{1}{\sqrt2},

lying inside the given unit circle. It contains infinitely many points.

Therefore, the correct answer is E.