1970 AMC 12 Problema 2

Question

Un cuadrado y un círculo tienen perímetros iguales. La razón entre el área del círculo y el área del cuadrado es:

A square and a circle have equal perimeters. The ratio of the area of the circle to the area of the square is:

\frac{4}{\pi}

\frac{\pi}{\sqrt2}

\frac{4}{1}

\frac{\sqrt2}{\pi}

\frac{\pi}{4}

Sea

p

el perímetro común

Let the common perimeter be

p

Expresa el radio del círculo y el lado del cuadrado en función de

p

, y luego divide sus áreas

Express the circle radius and square side in terms of

p

, then divide their areas

Si el perímetro común es

p,

entonces el círculo tiene radio

\frac{p}{2\pi}

y el cuadrado tiene lado

\frac{p}{4}.

Por lo tanto,

\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the common perimeter is

p,

then the circle has radius

\frac{p}{2\pi}

and the square has side

\frac{p}{4}.

Therefore

\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 2 en otros años