1973 AMC 12 Problema 13

Question

La fracción

\frac{2(\sqrt2+\sqrt6)}{3\sqrt{2+\sqrt3}}

es igual a

The fraction

\frac{2(\sqrt2+\sqrt6)}{3\sqrt{2+\sqrt3}}

is equal to

\dfrac{2\sqrt2}{3}

1

\dfrac{2\sqrt3}{3}

\dfrac43

\dfrac{16}{9}

Todas las cantidades son positivas, así que compara el cuadrado de la fracción con los cuadrados de las opciones

All quantities are positive, so compare the square of the fraction with the squares of the choices

Usa

(\sqrt2+\sqrt6)^2=8+4\sqrt3

Use

(\sqrt2+\sqrt6)^2=8+4\sqrt3

La fracción es positiva, y su cuadrado es

\begin{aligned} &\frac{4(\sqrt2+\sqrt6)^2} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{4(8+4\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16(2+\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16}{9}. \end{aligned}

Por lo tanto, la fracción original es

\frac{4}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fraction is positive, and its square is

\begin{aligned} &\frac{4(\sqrt2+\sqrt6)^2} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{4(8+4\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16(2+\sqrt3)} {9(2+\sqrt3)}\\ &\quad=\frac{16}{9}. \end{aligned}

Therefore the original fraction is

\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is D.

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