1975 AMC 12 Problema 21

Question

Supón que

f(x)

está definida para todos los números reales

x;

f(x)\gt0

para todo

x;

y

f(a)f(b)=f(a+b)

para todos

a

y

b.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.

f(0)=1

II.

f(-a)=\frac{1}{f(a)}

para todo

a

III.

f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}

para todo

a

IV.

f(b)\gt f(a)

si

b\gt a

Suppose

f(x)

is defined for all real numbers

x;

f(x)\gt0

for all

x;

and

f(a)f(b)=f(a+b)

for all

a

and

b.

Which of the following statements are true?

I.

f(0)=1

II.

f(-a)=\frac{1}{f(a)}

for all

a

III.

f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}

for all

a

IV.

f(b)\gt f(a)

if

b\gt a

Solo

\mathrm{III}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{III}

and

\mathrm{IV}

only

Solo

\mathrm{I},

\mathrm{III}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{III}

and

\mathrm{IV}

only

Solo

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

only

Solo

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

Todas son verdaderas.

All are true.

Respuesta: D

Conceptos:ecuación funcional sustitución contraejemplo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sustituye

a=0,\ b=-a,

y después suma

a

tres veces

Substitute

a=0,\ b=-a,

and then add

a

three times

Pista grande:

Pon a prueba la afirmación sobre monotonía con la función constante

f(x)=1

Test the monotonicity claim with the constant function

f(x)=1

Solución:

Al tomar

a=0

y usar la positividad se obtiene

f(0)=1.

Al tomar

b=-a

se obtiene

f(a)f(-a)=1.

Además,

f(3a)=f(a)^3,

así que la positividad permite tomar la raíz cúbica positiva en III. Sin embargo,

f(x)=1

satisface la ecuación funcional y no es estrictamente creciente, por lo que IV no tiene que cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking

a=0

and using positivity gives

f(0)=1.

Taking

b=-a

gives

f(a)f(-a)=1.

Also

f(3a)=f(a)^3,

so positivity permits the positive cube root in III. But

f(x)=1

satisfies the functional equation and is not strictly increasing, so IV need not hold.

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años