1977 AMC 12 Problema 15

Question

Cada uno de los tres círculos de la figura adjunta es tangente exteriormente a los otros dos, y cada lado del triángulo es tangente a dos de los círculos. Si cada círculo tiene radio tres, entonces el perímetro del triángulo es

Each of the three circles in the adjoining figure is externally tangent to the other two, and each side of the triangle is tangent to two of the circles. If each circle has radius three, then the perimeter of the triangle is

36+9\sqrt2

36+6\sqrt3

36+9\sqrt3

18+18\sqrt3

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Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo equilátero circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Los tres centros forman un triángulo equilátero de lado

6

The three circle centers form an equilateral triangle of side

6

Pista grande:

Considera los lados exteriores como rectas paralelas desplazadas y compara los inradios de los dos triángulos equiláteros

View the outer sides as parallel offsets and compare the inradii of two equilateral triangles

Solución:

Los centros forman un triángulo equilátero de lado

6,

cuyo inradio es

\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.

Cada lado del triángulo exterior es una tangente paralela desplazada tres unidades hacia afuera, por lo que el triángulo exterior tiene inradio

3+\sqrt3.

Un triángulo equilátero de inradio

r

tiene lado

2\sqrt3r,

así que cada lado exterior mide

2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.

El perímetro es

3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The circle centers form an equilateral triangle of side

6,

whose inradius is

\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.

Each side of the outer triangle is a parallel tangent line three units farther out, so the outer triangle has inradius

3+\sqrt3.

An equilateral triangle of inradius

r

has side

2\sqrt3r,

hence each outer side is

2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.

The perimeter is

3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.