1977 AMC 12 Problema 18

Question

Si

\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}

entonces

If

\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}

then

4\lt y\lt5

y=5

5\lt y\lt6

y=6

6\lt y\lt7

Reescribe todos los logaritmos con la misma base

Rewrite every logarithm using the same base

Los numeradores y denominadores adyacentes se cancelan en el producto

Adjacent numerators and denominators cancel in the product

Por cambio de base,

\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By change of base,

\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 18 en otros años