1977 AMC 12 Problema 27

Question

Hay dos bolas esféricas de distinto tamaño situadas en dos esquinas de una habitación rectangular; cada una toca dos paredes y el suelo. Si en cada bola hay un punto que está a

5

pulgadas de cada pared que toca la bola y a

10

pulgadas del suelo, entonces la suma de los diámetros de las bolas es

There are two spherical balls of different sizes lying in two corners of a rectangular room, each touching two walls and the floor. If there is a point on each ball which is

5

inches from each wall which that ball touches and

10

inches from the floor, then the sum of the diameters of the balls is

20

pulgadas

20

inches

30

pulgadas

30

inches

40

pulgadas

40

inches

60

pulgadas

60

inches

no se puede determinar con la información dada

not determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:esfera geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Coloca la esquina en el origen y toma las paredes y el suelo como planos coordenados

Place the corner at the origin with the walls and floor as coordinate planes

Pista grande:

Una esfera de radio

r

tangente a los tres planos tiene centro

(r,r,r)

A sphere of radius

r

tangent to all three planes has center

(r,r,r)

Solución:

Para un radio

r,

el centro es

(r,r,r)

y el punto dado es

(5,5,10).

Por lo tanto,

2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,

que se simplifica a

r^2-20r+75=0,

o

(r-5)(r-15)=0.

Los dos radios son

5

y

15,

así que la suma de los diámetros es

2(5+15)=40

pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For radius

r,

the center is

(r,r,r)

and the given point is

(5,5,10).

Thus

2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,

which simplifies to

r^2-20r+75=0,

or

(r-5)(r-15)=0.

The two radii are

5

and

15,

so the sum of the diameters is

2(5+15)=40

inches.

Therefore, the correct answer is C.

1977 AMC 12 Problema 27

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años