1978 AMC 12 Problema 28

Question

Si

\triangle A_1A_2A_3

es equilátero y

A_{n+3}

es el punto medio del segmento

A_nA_{n+1}

para todo entero positivo

n,

entonces la medida de

\angle A_{44}A_{45}A_{43}

es igual a

If

\triangle A_1A_2A_3

is equilateral and

A_{n+3}

is the midpoint of line segment

A_nA_{n+1}

for all positive integers

n,

then the measure of

\angle A_{44}A_{45}A_{43}

equals

30^\circ

45^\circ

60^\circ

90^\circ

120^\circ

Respuesta: E

Conceptos:punto medio recursión vector

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Sea

\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}

y deriva una recurrencia para estos vectores

Let

\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}

and derive a recurrence for these vectors

Pista grande:

Demuestra que

\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,

reduciendo el ángulo pedido a uno formado por los primeros puntos

Show that

\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,

reducing the requested angle to one among the first few points

Solución:

Sea

\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.

La regla del punto medio da

\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})

y también

\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.

En consecuencia,

\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}

Por lo tanto,

\mathbf d_{43}

y

\mathbf d_{44}

son, respectivamente, el mismo múltiplo escalar positivo de

\mathbf d_3

y

\mathbf d_4,

de modo que

\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.

Como

A_4

y

A_5

son los puntos medios de

A_1A_2

y

A_2A_3,

A_4A_5\parallel A_1A_3.

Los ángulos del triángulo equilátero dan entonces

\angle A_4A_5A_3=120^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.

The midpoint rule gives

\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})

and also

\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.

Consequently,

\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}

Thus

\mathbf d_{43}

and

\mathbf d_{44}

are the same positive scalar multiple of

\mathbf d_3

and

\mathbf d_4,

respectively, so

\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.

Since

A_4

and

A_5

are the midpoints of

A_1A_2

and

A_2A_3,

A_4A_5\parallel A_1A_3.

The equilateral-triangle angles then give

\angle A_4A_5A_3=120^\circ.

Therefore, the correct answer is E.