1978 AMC 12 Problema 29

Question

Los lados

AB,

BC,

CD,

y

DA,

respectivamente, del cuadrilátero convexo

ABCD

se prolongan más allá de

B,

C,

D,

y

A

hasta los puntos

B',

C',

D',

y

A'.

Además,

AB=BB'=6,

BC=CC'=7,

CD=DD'=8,

y

DA=AA'=9;

y el área de

ABCD

es

10.

El área de

A'B'C'D'

es

Sides

AB,

BC,

CD,

and

DA,

respectively, of convex quadrilateral

ABCD

are extended past

B,

C,

D,

and

A

to points

B',

C',

D',

and

A'.

Also,

AB=BB'=6,

BC=CC'=7,

CD=DD'=8,

and

DA=AA'=9;

and the area of

ABCD

is

10.

The area of

A'B'C'D'

is

20

40

45

50

60

Respuesta: D

Conceptos:vector descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

En notación vectorial,

A'=2A-D,

B'=2B-A,

y análogamente para los otros dos vértices

In vector notation,

A'=2A-D,

B'=2B-A,

and similarly for the other two vertices

Pista grande:

Sustituye estas expresiones en la fórmula del área de un polígono mediante productos vectoriales

Substitute these expressions into the cross-product area formula for a polygon

Solución:

Usando vectores de posición, las prolongaciones iguales dan

\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}

Al sustituir en la suma orientada del área del polígono, los términos cruzados diagonales se cancelan:

\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}

Por consiguiente, el área exterior es cinco veces el área original, es decir,

5\cdot10=50.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using position vectors, the equal extensions give

\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}

Substitution into the oriented polygon-area sum shows that the diagonal cross terms cancel:

\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}

Hence the outer area is five times the original area, or

5\cdot10=50.

Therefore, the correct answer is D.