1982 AMC 12 Problema 21

Question

En la figura adjunta, el triángulo

ABC

es rectángulo con

\angle BCA=90^\circ.

La mediana

CM

es perpendicular a la mediana

BN,

y el lado

BC=s.

La longitud de

BN

es

In the adjoining figure, the triangle

ABC

is a right triangle with

\angle BCA=90^\circ.

Median

CM

is perpendicular to median

BN,

and side

BC=s.

The length of

BN

is

s\sqrt2

\frac32s\sqrt2

2s\sqrt2

\frac{s\sqrt5}{2}

\frac{s\sqrt6}{2}

Respuesta: E

Conceptos:mediana (geometría)geometría analítica vector triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sitúa

C=(0,0),

B=(0,s),

y

A=(t,0)

Place

C=(0,0),

B=(0,s),

and

A=(t,0)

Pista grande:

Usa un producto escalar con las direcciones de las dos medianas

Use a dot product for the directions of the two medians

Solución:

Fija

C=(0,0),

B=(0,s),

y

A=(t,0).

Entonces

M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})

y

N=(\frac{t}{2},0).

La perpendicularidad da

(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,

y por tanto

t^2=2s^2.

Así,

\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set

C=(0,0),

B=(0,s),

and

A=(t,0).

Then

M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})

and

N=(\frac{t}{2},0).

Perpendicularity gives

(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,

hence

t^2=2s^2.

Therefore

\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.