1982 AMC 12 Problema 7

Question

Si la operación

x*y

se define mediante

x*y=(x+1)(y+1)-1,

¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

If the operation

x*y

is defined by

x*y=(x+1)(y+1)-1,

then which one of the following is false?

x*y=y*x

para todos los números reales

x

y

y.

x*y=y*x

for all real

x

and

y.

x*(y+z)

es igual a

(x*y)+(x*z)

para todos los números reales

x,

y,

y

z.

x*(y+z)

equals

(x*y)+(x*z)

for all real

x,

y,

and

z.

(x-1)*(x+1)

es igual a

(x*x)-1

para todo número real

x.

(x-1)*(x+1)

equals

(x*x)-1

for all real

x.

x*0=x

para todo número real

x.

x*0=x

for all real

x.

x*(y*z)=(x*y)*z

para todos los números reales

x,

y,

y

z.

x*(y*z)=(x*y)*z

for all real

x,

y,

and

z.

Respuesta: B

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva contraejemplo

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Primero simplifica la operación a

x+y+xy

First simplify the operation to

x+y+xy

Pista grande:

Prueba la ley distributiva propuesta con

x=1

y

y=z=0

Test the proposed distributive law with

x=1

and

y=z=0

Solución:

Como

x*y=x+y+xy,

la operación es conmutativa, tiene elemento neutro

0,

y se convierte en multiplicación ordinaria después de sumar

1.

Por ello es asociativa, y la expansión directa también verifica C. El enunciado B falla cuando

x=1

y

y=z=0:

su lado izquierdo es

1*0=1,

pero su lado derecho es

(1*0)+(1*0)=2.

Por tanto, B es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

x*y=x+y+xy,

the operation is commutative, has identity

0,

and becomes ordinary multiplication after adding

1.

Thus it is associative, and direct expansion also verifies C. Statement B fails when

x=1

and

y=z=0:

its left side is

1*0=1,

but its right side is

(1*0)+(1*0)=2.

Hence B is false.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años