1982 AMC 12 Problema 8

Question

Por definición,

r!=r(r-1)\cdots1

y

\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},

donde

r,

j,

k

son enteros positivos y

k\lt j.

Si

\binom n1,

\binom n2,

\binom n3

forman una progresión aritmética con

n\gt3,

entonces

n

es igual a

By definition

r!=r(r-1)\cdots1

and

\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},

where

r,

j,

k

are positive integers and

k\lt j.

If

\binom n1,

\binom n2,

\binom n3

form an arithmetic progression with

n\gt3,

then

n

equals

5

7

9

11

12

El término central de una progresión aritmética es el promedio de sus vecinos

The middle term of an arithmetic progression is the average of its neighbors

Sustituye las fórmulas factoriales en

2\binom n2=\binom n1+\binom n3

Substitute the factorial formulas into

2\binom n2=\binom n1+\binom n3

La condición de progresión es

2\binom n2=\binom n1+\binom n3.

Al sustituir y cancelar se obtiene

n^2-9n+14=0,

o bien

(n-2)(n-7)=0.

Como

n\gt3,

resulta

n=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The progression condition is

2\binom n2=\binom n1+\binom n3.

Substitution and cancellation give

n^2-9n+14=0,

or

(n-2)(n-7)=0.

Since

n\gt3,

n=7.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 8 en otros años