1987 AMC 12 Problema 30

Question

En la figura,

\triangle ABC

tiene

\angle A=45^\circ

y

\angle B=30^\circ.

Una recta

DE,

con

D

sobre

AB

y

\angle ADE=60^\circ,

divide

\triangle ABC

en dos partes de igual área. (Nota: la figura puede no ser exacta; quizá

E

esté sobre

CB

en lugar de

AC.

) La razón

\frac{AD}{AB}

es

In the figure,

\triangle ABC

has

\angle A=45^\circ

and

\angle B=30^\circ.

A line

DE,

with

D

on

AB

and

\angle ADE=60^\circ,

divides

\triangle ABC

into two pieces of equal area. (Note: the figure may not be accurate; perhaps

E

is on

CB

instead of

AC.

) The ratio

\frac{AD}{AB}

is

\frac1{\sqrt2}

\frac2{2+\sqrt2}

\frac1{\sqrt3}

\frac1{\sqrt[3]{6}}

\frac1{\sqrt[4]{12}}

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo similar scaling trigonometría

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Escala de modo que

AB=1

y coloca

A=(0,0),\ B=(1,0)

Scale so

AB=1

and place

A=(0,0),\ B=(1,0)

Pista grande:

Halla la altura de

C

y la de

E

en términos de

d=AD

; luego iguala la mitad del área total al área de

\triangle ADE

Find the height of

C

and the height of

E

in terms of

d=AD

, then equate half the total area to the area of

\triangle ADE

Solución:

Tomemos

AB=1,\ A=(0,0),

y

B=(1,0).

Como

\angle A=45^\circ,

el lado

AC

se encuentra sobre

y=x.

La recta que pasa por

B

y forma un ángulo de

30^\circ

con

BA

la interseca a la altura

h_C=\frac1{1+\sqrt3}.

Sea

d=AD.

El rayo

DE

tiene pendiente

-\sqrt3,

así que su intersección con

y=x

tiene altura

h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.

La igualdad de las áreas exige

\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).

Por lo tanto,

\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}

Así,

\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set

AB=1,\ A=(0,0),

and

B=(1,0).

Since

\angle A=45^\circ,

side

AC

lies on

y=x.

The line through

B

making angle

30^\circ

with

BA

meets it at height

h_C=\frac1{1+\sqrt3}.

Let

d=AD.

The ray

DE

has slope

-\sqrt3,

so its intersection with

y=x

has height

h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.

Equal areas require

\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).

Therefore

\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}

Hence

\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.

Thus the correct answer is E.