1989 AMC 12 Problema 28

Question

Halla la suma de las raíces de

\tan^2x-9\tan x+1=0

que están entre

x=0

y

x=2\pi

radianes.

Find the sum of the roots of

\tan^2x-9\tan x+1=0

that are between

x=0

and

x=2\pi

radians.

\frac\pi2

\pi

\frac{3\pi}2

3\pi

4\pi

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

En

\tan x

, sean

r

y

s

las dos raíces positivas

Let the two positive roots in

\tan x

be

r

and

s

Pista grande:

Usa

rs=1

para relacionar

\arctan r+\arctan s,

y luego incluye el período de la tangente

Use

rs=1

to relate

\arctan r+\arctan s,

then include the period of tangent

Solución:

Las dos raíces

r,s

de

t^2-9t+1=0

son positivas y satisfacen

rs=1.

Por tanto, la suma de sus arcotangentes agudas es

\frac{\pi}{2}.

Cada valor de la tangente aparece dos veces entre

0

y

2\pi,

con la segunda aparición desplazada en

\pi.

La suma de las cuatro raíces es

2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The two roots

r,s

of

t^2-9t+1=0

are positive and satisfy

rs=1.

Therefore their acute arctangents add to

\frac{\pi}{2}.

Each tangent value occurs twice between

0

and

2\pi,

with the second occurrence shifted by

\pi.

The sum of all four roots is

2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.

Thus the correct answer is D.