1992 AMC 12 Problema 9

Question

Cinco triángulos equiláteros, cada uno de lado

2\sqrt3,

están dispuestos en el mismo lado de una recta que contiene un lado de cada triángulo. A lo largo de esta recta, el punto medio de la base de un triángulo es un vértice del siguiente. El área de la región del plano cubierta por la unión de las cinco regiones triangulares es

Five equilateral triangles, each with side

2\sqrt3,

are arranged so they are all on the same side of a line containing one side of each. Along this line, the midpoint of the base of one triangle is a vertex of the next. The area of the region of the plane that is covered by the union of the five triangular regions is

10

12

15

10\sqrt3

12\sqrt3

Respuesta: E

Conceptos:equilateral triangle area inclusión-exclusión overlapping regions

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Suma las áreas de los cinco triángulos grandes y luego resta sus intersecciones

Add the areas of the five large triangles, then subtract their overlaps

Pista grande:

Cada intersección de triángulos adyacentes es un triángulo equilátero con la mitad del lado original

Each adjacent overlap is an equilateral triangle with half the original side length

Solución:

Cada triángulo grande tiene área

\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.

Cada una de las cuatro intersecciones es un triángulo equilátero de lado

\sqrt3,

y por tanto de área

\frac{3\sqrt3}{4}.

No hay intersecciones triples, así que la unión tiene área

5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each large triangle has area

\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3.

Each of the four overlaps is an equilateral triangle of side

\sqrt3,

hence area

\frac{3\sqrt3}{4}.

There are no triple overlaps, so the union has area

5(3\sqrt3)-4\left(\frac{3\sqrt3}{4}\right)=12\sqrt3.

Thus the correct answer is E.