1993 AMC 12 Problema 21

Question

Sea

a_1,

a_2,

\ldots,

a_k

una sucesión aritmética finita tal que

a_4+a_7+a_{10}=17

y

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}

Si

a_k=13,

entonces

k=

Let

a_1,

a_2,

\ldots,

a_k

be a finite arithmetic sequence with

a_4+a_7+a_{10}=17

and

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}

If

a_k=13,

then

k=

16

18

20

22

24

Usa los términos centrales para hallar

a_7

y

a_9

Use the middle terms to find

a_7

and

a_9

La diferencia entre

a_7

y

a_9

determina la diferencia común

The difference between

a_7

and

a_9

determines the common difference

Como el promedio de términos simétricos de una sucesión aritmética es el término central,

3a_7=17,\qquad 11a_9=77.

Así,

a_7=\frac{17}{3}

y

a_9=7,

por lo que la diferencia común es

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.

Como

13-7=6=9d,

se tiene

a_k=a_{9+9}=a_{18}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term,

3a_7=17,\qquad 11a_9=77.

Thus

a_7=\frac{17}{3}

and

a_9=7,

so the common difference is

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.

Since

13-7=6=9d,

we have

a_k=a_{9+9}=a_{18}.

Thus the correct answer is B.

El Problema 21 en otros años