1993 AMC 12 Problema 29

Question

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO podría contener las longitudes de las diagonales exteriores de un prisma rectangular recto, es decir, una “caja”? (Una diagonal exterior es una diagonal de una de las caras rectangulares de la caja.)

Which of the following sets could NOT be the lengths of the external diagonals of a right rectangular prism [a “box”]? (An external diagonal is a diagonal of one of the rectangular faces of the box.)

\{4,5,6\}

\{4,5,7\}

\{4,6,7\}

\{5,6,7\}

\{5,7,8\}

Respuesta: B

Conceptos:prisma rectangular face diagonals Pythagorean inequalities

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Si

p\le q\le r

son las diagonales de las caras, expresa los cuadrados de las aristas en términos de

p^2,q^2,r^2

If

p\le q\le r

are the face diagonals, express the edge squares in terms of

p^2,q^2,r^2

Pista grande:

Una condición necesaria y suficiente de positividad es

r^2\lt p^2+q^2

A necessary and sufficient positivity condition is

r^2\lt p^2+q^2

Solución:

Si las longitudes de las aristas son

a,

b,

c,

entonces los cuadrados de las tres diagonales de las caras son

a^2+b^2,

a^2+c^2,

b^2+c^2.

Para diagonales ordenadas

p\le q\le r,

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},

por lo que necesariamente

r^2\lt p^2+q^2;

las fórmulas análogas muestran que esto también es suficiente. Solo falla

\{4,5,7\}

, pues

7^2=49\gt16+25=41.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the edge lengths are

a,

b,

c,

then the three face-diagonal squares are

a^2+b^2,

a^2+c^2,

b^2+c^2.

For sorted diagonals

p\le q\le r,

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},

so necessarily

r^2\lt p^2+q^2;

the analogous formulas show this is also sufficient. Only

\{4,5,7\}

fails, since

7^2=49\gt16+25=41.

Thus the correct answer is B.