1995 AMC 12 Problema 18

Question

Dos rayos con extremo común

O

forman un ángulo de

30^\circ.

El punto

A

está en un rayo, el punto

B

en el otro, y

AB=1.

La mayor longitud posible de

OB

es

Two rays with common endpoint

O

form a

30^\circ

angle. Point

A

lies on one ray, point

B

on the other ray, and

AB=1.

The maximum possible length of

OB

is

1

\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}

\sqrt3

2

\frac4{\sqrt3}

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos discriminant

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Aplica la ley de los cosenos a

\triangle AOB

Apply the Law of Cosines to

\triangle AOB

Pista grande:

Considera la relación obtenida como una cuadrática en

OA

y exige una solución real

Treat the resulting relation as a quadratic in

OA

and require a real solution

Solución:

Sean

OA=x

y

OB=y.

La ley de los cosenos da

1=x^2+y^2-\sqrt3xy.

Como cuadrática en

x,

su discriminante es

3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.

Para que

x

sea real se requiere

y\le2,

y la igualdad se alcanza cuando

x=\sqrt3.

Por ello, el máximo es

2,

y la respuesta correcta es D.

Let

OA=x

and

OB=y.

The Law of Cosines gives

1=x^2+y^2-\sqrt3xy.

As a quadratic in

x,

this has discriminant

3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.

A real

x

requires

y\le2,

and equality is attained when

x=\sqrt3.

Hence the maximum is

2,

and the correct answer is D.