1952 AMC 12 Problema 13

Question

La función

x^2+px+q

, con

p

y

q

mayores que cero, alcanza su valor mínimo cuando:

The function

x^2+px+q

with

p

and

q

greater than zero has its minimum value when:

x=-p

x=\dfrac p2

x=-2p

x=\dfrac{p^2}{4q}

x=-\dfrac p2

Completa el cuadrado en los términos

x^2+px

Complete the square in the terms

x^2+px

El término al cuadrado es mínimo cuando

x+\frac{p}{2}=0

The squared term is minimized when

x+\frac{p}{2}=0

Al completar el cuadrado se obtiene

\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4}. \end{aligned}

El cuadrado es mínimo cuando

x=-\frac{p}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square gives

\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4}. \end{aligned}

The square is least when

x=-\frac{p}{2}.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 13 en otros años