1952 AMC 12 Problema 18

Question

\log p+\log q=\log(p+q)

solo si:

\log p+\log q=\log(p+q)

only if:

p=q=0

p=\dfrac{q^2}{1-q}

p=q=1

p=\dfrac q{q-1}

p=\dfrac q{q+1}

Combina los logaritmos del lado izquierdo antes de igualar sus argumentos positivos

Combine the logarithms on the left before equating their positive arguments

Resuelve

pq=p+q

para hallar

p

Solve

pq=p+q

for

p

La regla del producto de logaritmos transforma la ecuación en

\log(pq)=\log(p+q),

por lo que los argumentos positivos deben satisfacer

pq=p+q.

Así,

p(q-1)=q,

lo que da

p=\frac{q}{q-1}.

Sus valores admisibles cumplen

q\gt1,

lo que también mantiene positivos todos los argumentos de los logaritmos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The logarithm product rule changes the equation to

\log(pq)=\log(p+q),

so the positive arguments must satisfy

pq=p+q.

Therefore

p(q-1)=q,

giving

p=\frac{q}{q-1}.

Its admissible values have

q\gt1,

which also keeps all logarithm arguments positive.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 18 en otros años