1961 AMC 12 Problema 7

Question

Al simplificar, el tercer término del desarrollo de

\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6

es:

When simplified, the third term in the expansion of

\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6

is:

\dfrac{15}{x}

-\dfrac{15}{x}

-\dfrac{6x^2}{a^9}

\dfrac{20}{a^3}

-\dfrac{20}{a^3}

El tercer término usa dos copias del segundo término del binomio

The third term uses two copies of the second binomial term

Usa el coeficiente

\binom62

y simplifica las potencias de

a

y

x

Use the coefficient

\binom62

and simplify the powers of

a

and

x

El tercer término es

\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The third term is

\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 7 en otros años