1969 AMC 12 Problema 13

Question

Un círculo de radio

r

está contenido en la región limitada por un círculo de radio

R.

El área limitada por el círculo mayor es

\frac{a}{b}

veces el área de la región exterior al círculo menor e interior al mayor. Entonces

R:r

es igual a:

A circle with radius

r

is contained within the region bounded by a circle with radius

R.

The area bounded by the larger circle is

\frac{a}{b}

times the area of the region outside the smaller circle and inside the larger circle. Then

R:r

equals:

\sqrt a:\sqrt b

\sqrt a:\sqrt{a-b}

\sqrt b:\sqrt{a-b}

a:\sqrt{a-b}

b:\sqrt{a-b}

Escribe

\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)

Write

\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)

Despeja la razón

\frac{R^2}{r^2}

antes de sacar raíces cuadradas

Solve for the ratio

\frac{R^2}{r^2}

before taking square roots

La condición de áreas es

\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2).

Así,

bR^2=aR^2-ar^2,

por lo que

ar^2=(a-b)R^2.

Entonces

\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}},

y

R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The area condition is

\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2).

Thus

bR^2=aR^2-ar^2,

so

ar^2=(a-b)R^2.

Therefore

\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}},

and

R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}.

Therefore, the correct answer is B.

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