1974 AMC 12 Problema 21

Question

En una progresión geométrica de términos positivos, la diferencia entre el quinto y el cuarto término es

576,

y la diferencia entre el segundo y el primero es

9.

¿Cuál es la suma de los primeros cinco términos de esta progresión?

In a geometric series of positive terms the difference between the fifth and fourth terms is

576,

and the difference between the second and first terms is

9.

What is the sum of the first five terms of this series?

1061

1023

1024

768

ninguna de estas

none of these

Denota el primer término por

a

y la razón común por

r

Write the first term as

a

and the common ratio as

r

Divide

ar^3(r-1)=576

entre

a(r-1)=9

Divide

ar^3(r-1)=576

by

a(r-1)=9

Sea

a

el primer término y

r

la razón. Las condiciones dan

\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned}

Su cociente da

r^3=64,

así que

r=4.

Entonces

3a=9,

y por ello

a=3.

La suma es

\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first term be

a

and the ratio be

r.

The conditions give

\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned}

Their quotient gives

r^3=64,

so

r=4.

Then

3a=9,

hence

a=3.

The sum is

\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 21 en otros años