1978 AMC 12 Problema 27

Question

Hay más de un entero mayor que

1

que, al dividirse entre cualquier entero

k

tal que

2\le k\le11,

deja residuo

1.

¿Cuál es la diferencia entre los dos menores enteros de este tipo?

There is more than one integer greater than

1

which, when divided by any integer

k

such that

2\le k\le11,

has a remainder of

1.

What is the difference between the two smallest such integers?

2310

2311

27{,}720

27{,}721

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada entero buscado es

1

más que un múltiplo común de todos los enteros desde

2

hasta

11

Each desired integer is

1

more than a common multiple of every integer from

2

through

11

Pista grande:

La diferencia entre dos enteros consecutivos de este tipo es el mínimo común múltiplo de esos divisores

The difference of consecutive such integers is the least common multiple of those divisors

Solución:

Un entero que cumple la condición es congruente con

1

módulo cada entero desde

2

hasta

11,

y por lo tanto módulo

\begin{aligned} L&=\operatorname{lcm}(2,\ldots,11)\\ &=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\\ &=27720. \end{aligned}

Los dos menores enteros mayores que

1

que cumplen la condición son

L+1

y

2L+1,

cuya diferencia es

L=27720.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A qualifying integer is congruent to

1

modulo every integer from

2

through

11,

hence modulo

\begin{aligned} L&=\operatorname{lcm}(2,\ldots,11)\\ &=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\\ &=27720. \end{aligned}

The two smallest qualifying integers greater than

1

are

L+1

and

2L+1,

whose difference is

L=27720.

Therefore, the correct answer is C.