1980 AMC 12 Problema 27

Question

La suma

\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

es igual a

The sum

\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}

equals

\frac32

\frac{\sqrt[3]{65}}4

\frac{1+\sqrt[6]{13}}2

\sqrt[3]2

ninguna de estas

none of these

Llama

u

y

v

a las dos raíces cúbicas y calcula

uv

Call the two cube roots

u

and

v

, and compute

uv

Usa

(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)

Use

(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)

Sean

u

y

v

las dos raíces cúbicas reales. Entonces

\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}

Si

t=u+v,

entonces

t^3=10-9t,

así que

\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}

La única solución real es

t=1,

que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the two real cube roots be

u

and

v.

Then

\begin{aligned} uv&=\sqrt[3]{25-52}=-3,\\ u^3+v^3&=10. \end{aligned}

If

t=u+v,

then

t^3=10-9t,

so

\begin{gathered} t^3+9t-10\\ =(t-1)(t^2+t+10)\\ =0. \end{gathered}

The only real solution is

t=1,

which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 27 en otros años