1981 AMC 12 Problema 28

Question

Considera el conjunto de todas las ecuaciones

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

donde

a_2,

a_1,

a_0

son constantes reales y

|a_i|\le2

para

i=0,

1,

2.

Sea

r

el mayor número real positivo que satisface al menos una de estas ecuaciones. Entonces

Consider the set of all equations

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

where

a_2,

a_1,

a_0

are real constants and

|a_i|\le2

for

i=0,

1,

2.

Let

r

be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

1\le r\lt\frac32

\frac32\le r\lt2

2\le r\lt\frac52

\frac52\le r\lt3

3\le r\lt\frac72

Respuesta: D

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Para

x

positivo, los coeficientes que empujan una raíz más hacia la derecha toman sus cotas inferiores

For positive

x,

the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

Pista grande:

Acota la raíz mayor de

x^3-2x^2-2x-2

entre dos extremos consecutivos de las opciones

Bracket the largest root of

x^3-2x^2-2x-2

at two consecutive choice endpoints

Solución:

Denota por

g

un polinomio permitido. Para

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

donde

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Así, ninguna raíz positiva puede superar la raíz mayor

\rho

de

f.

Al tomar

a_2=a_1=a_0=-2

se obtiene

g=f,

por lo que

\rho

sí se alcanza. Como

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

tenemos

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write an allowed polynomial as

g.

For

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

where

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Thus no positive root can exceed the largest root

\rho

of

f.

Taking

a_2=a_1=a_0=-2

gives

g=f,

so

\rho

itself is attained. Since

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

we have

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Therefore, the correct answer is D.