1985 AMC 12 Problema 10
Intenta el Problema 10 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
10.
Un círculo arbitrario puede intersecar la gráfica de en
An arbitrary circle can intersect the graph of in
a lo sumo puntos
at most points
a lo sumo puntos
at most points
a lo sumo puntos
at most points
a lo sumo puntos
at most points
más de puntos
more than points
Respuesta: E
Pista pequeña:
Considera un círculo tangente al eje en el origen
Consider a circle tangent to the -axis at the origin
Pista grande:
Un radio muy grande mantiene el arco inferior cerca del eje a lo largo de muchas ondas sinusoidales
A very large radius keeps the lower arc close to the axis across many sine waves
Solución:
Toma un círculo tangente al eje en el origen, con su centro muy por encima del eje. Al crecer su radio, el arco inferior se mantiene positivo pero arbitrariamente cerca del eje en un intervalo arbitrariamente largo. En cada arco positivo de la curva seno vale en los extremos y se eleva muy por encima del arco circular entre ellos, lo que produce dos intersecciones. Por lo tanto, un radio suficientemente grande produce más de intersecciones.
Así, la respuesta correcta es E.
Take a circle tangent to the -axis at the origin with its center high above the axis. As its radius grows, its lower arc stays positive but arbitrarily close to the -axis over an arbitrarily long interval. On each positive arch of the sine curve is at the endpoints and rises well above this circular arc in between, producing two crossings. Choosing a sufficiently large radius therefore produces more than intersections.
Thus the correct answer is E.
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