1997 AMC 12 Problema 24

Question

Un número creciente, como

34689,

es un entero positivo en el que cada dígito es mayor que todos los dígitos situados a su izquierda. Hay

\binom95=126

números crecientes de cinco dígitos. Cuando se ordenan de menor a mayor, el número que ocupa la posición

97

en la lista no contiene el dígito

A rising number, such as

34689,

is a positive integer each digit of which is larger than each of the digits to its left. There are

\binom95=126

five-digit rising numbers. When these numbers are arranged from smallest to largest, the

97

th number in the list does not contain the digit

4

5

6

7

8

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones lexicographic order

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Cuenta cuántos números crecientes comienzan con

1

, y luego cuántos comienzan con

23

Count how many rising numbers begin with

1

, then with

23

Pista grande:

Después de esos bloques, enumera los primeros números que comienzan con

24

After those blocks, list the first few numbers beginning with

24

Solución:

Hay

\binom84=70

que comienzan con

1.

Entre los que comienzan con

2,

los primeros

\binom63=20

comienzan con

23,

y ocupan las posiciones

71

–

90.

Por lo tanto, el que ocupa la posición

97

es el séptimo que comienza con

24:

\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}

El número

24678

no contiene

5,

así que B es la respuesta correcta.

There are

\binom84=70

beginning with

1.

Among those beginning with

2,

the first

\binom63=20

begin with

23,

occupying positions

71

–

90.

Thus the

97

th overall is the seventh beginning with

24:

\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}

The number

24678

omits

5,

so B is correct.