1983 AMC 12 Problema 24

Question

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes hay cuyo perímetro en cm y cuya área en

\text{cm}^2

son numéricamente iguales?

How many non-congruent right triangles are there such that the perimeter in cm and area in

\text{cm}^2

are numerically equal?

ninguno

none

1

2

4

infinitos

infinitely many

Comienza con cualquier triángulo rectángulo y multiplica las longitudes de todos sus lados por

k

Start with any shape of right triangle and scale all its side lengths by

k

Al cambiar la escala, el perímetro se multiplica por

k

, mientras que el área se multiplica por

k^2

Under scaling, perimeter is multiplied by

k

while area is multiplied by

k^2

Comienza con cualquier triángulo rectángulo de perímetro

P

y área

K.

Multiplicar todos los lados por

k=\frac{P}{K}

produce un perímetro

kP

y un área

k^2K,

que son iguales. Existen infinitas formas de triángulos rectángulos no semejantes, por lo que los triángulos resultantes no son congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Start with any right triangle having perimeter

P

and area

K.

Scaling every side by

k=\frac{P}{K}

produces perimeter

kP

and area

k^2K,

which are equal. Infinitely many nonsimilar right-triangle shapes exist, and the resulting triangles are therefore noncongruent.

Therefore, the correct answer is E.

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