1962 AMC 12 Problema 24

Question

Tres máquinas

P,

Q,

y

R,

trabajando juntas, pueden completar un trabajo en

x

horas. Cuando trabajan solas,

P

necesita

6

horas adicionales para hacer el trabajo;

Q,

una hora adicional; y

R,

x

horas adicionales. El valor de

x

es:

Three machines

P,

Q,

and

R,

working together, can do a job in

x

hours. When working alone,

P

needs an additional

6

hours to do the job;

Q,

one additional hour; and

R,

x

additional hours. The value of

x

is:

\dfrac23

\dfrac{11}{12}

\dfrac32

2

3

Respuesta: A

Conceptos:tasa ecuación racional

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Los tiempos individuales para completar el trabajo son

x+6,

x+1,

y

2x

The individual completion times are

x+6,

x+1,

and

2x

Pista grande:

Iguala la suma de las tasas horarias individuales a

\frac{1}{x}

Set the sum of the individual hourly rates equal to

\frac{1}{x}

Solución:

Las tasas satisfacen

\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x.

Por tanto,

\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x},

que se simplifica a

3x^2+7x-6=0,

o

(3x-2)(x+3)=0.

Un tiempo debe ser positivo, así que

x=\frac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rates satisfy

\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x.

Thus

\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x},

which simplifies to

3x^2+7x-6=0,

or

(3x-2)(x+3)=0.

A time must be positive, so

x=\frac{2}{3}.

Therefore, the correct answer is A.