1988 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

f(x)=4x-x^2.

Dado

x_0,

considera la sucesión definida por

x_n=f(x_{n-1})

para todo

n\ge1.

¿Para cuántos números reales

x_0

la sucesión

x_0,

x_1,

x_2,

\ldots

toma solo un número finito de valores diferentes?

Let

f(x)=4x-x^2.

Given

x_0,

consider the sequence defined by

x_n=f(x_{n-1})

for all

n\ge1.

For how many real numbers

x_0

will the sequence

x_0,

x_1,

x_2,

\ldots

take on only a finite number of different values?

0

1

o

2

1

or

2

3,

4,

5

o

6

3,

4,

5

or

6

más de

6

, pero una cantidad finita

more than

6

but finitely many

infinitos

infinitely many

Respuesta: E

Conceptos:function iteration preimages inducción finite orbits

Nivel de dificultad: 2930

Pista pequeña:

Empieza con

0,

y luego busca números que se apliquen sucesivamente a

0

Start with

0,

then find numbers mapping successively to

0

Pista grande:

Para todo

a\le4,

resuelve

4x-x^2=a

y elige una nueva preimagen real

For every

a\le4,

solve

4x-x^2=a

and choose a new real preimage

Solución:

Los valores iniciales

0,4,2

producen las órbitas finitas

0

,

4\to0

y

2\to4\to0.

En general, si

a_n

inicia una cadena finita que termina en

0,

resuelve

4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n.

Sus soluciones reales son

a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}.

Elegir una preimagen que aún no esté en la cadena la extiende con un valor nuevo. Al repetir este proceso, se obtienen infinitos valores iniciales distintos con órbitas finitas.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The starting values

0,4,2

give finite orbits

0

,

4\to0

, and

2\to4\to0.

More generally, if

a_n

begins a finite chain ending at

0,

solve

4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n.

Its real solutions are

a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}.

Choosing a preimage not already in the chain extends it by one new value. Repeating produces infinitely many distinct starting values with finite orbits.

Thus the correct answer is E.