1990 AMC 12 Problema 30

Question

Si

R_n=\frac12(a^n+b^n),

donde

a=3+2\sqrt2,

b=3-2\sqrt2,

y

n=0,

1,

2,

\ldots,

entonces

R_{12345}

es un entero. Su dígito de las unidades es

If

R_n=\frac12(a^n+b^n),

where

a=3+2\sqrt2,

b=3-2\sqrt2,

and

n=0,

1,

2,

\ldots,

then

R_{12345}

is an integer. Its units digit is

1

3

5

7

9

Respuesta: E

Conceptos:recurrence aritmética modular conjugates

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa

a+b=6

y

ab=1

para obtener una recurrencia para

R_n

Use

a+b=6

and

ab=1

to obtain a recurrence for

R_n

Pista grande:

Calcula la recurrencia módulo

10

y busca un período corto

Compute the recurrence modulo

10

and look for a short period

Solución:

Como

a,b

son raíces de

t^2-6t+1=0,

R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.

Comenzando con

R_0=1,\ R_1=3,

los dígitos de las unidades son

1,3,7,9,7,3,1,\ldots,

con período

6.

Como

12345\equiv3\pmod6,

el dígito de las unidades es el mismo que el de

R_3,

es decir,

9.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Because

a,b

are roots of

t^2-6t+1=0,

R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.

Starting with

R_0=1,\ R_1=3,

the units digits are

1,3,7,9,7,3,1,\ldots,

with period

6.

Since

12345\equiv3\pmod6,

the units digit is the same as that of

R_3,

namely

9.

Thus the correct answer is E.