1993 AMC 12 Problema 15

Question

¿Para cuántos valores de

n

tendrá un polígono regular de

n

lados ángulos interiores cuyas medidas en grados sean enteras?

For how many values of

n

will an

n

-sided regular polygon have interior angles with integral degree measures?

16

18

20

22

24

Un ángulo interior mide

180^\circ-\frac{360^\circ}{n}

An interior angle is

180^\circ-\frac{360^\circ}{n}

Cuenta los divisores

n

de

360

y excluye los valores menores que

3

Count divisors

n

of

360

and exclude values below

3

El ángulo interior mide

180^\circ-\frac{360^\circ}{n},

y es entero exactamente cuando

360

es divisible por

n.

Como

360=2^3\cdot3^2\cdot5,

tiene

(3+1)(2+1)(1+1)=24

divisores positivos. Al excluir

n=1

y

n=2

quedan

22

valores admisibles. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The interior angle is

180^\circ-\frac{360^\circ}{n},

which is integral exactly when

360

is divisible by

n.

Since

360=2^3\cdot3^2\cdot5,

it has

(3+1)(2+1)(1+1)=24

positive divisors. Excluding

n=1

and

n=2

leaves

22

allowable values. Thus the correct answer is D.

El Problema 15 en otros años