1997 AMC 12 Problema 13

Question

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos

N

tienen la propiedad de que la suma de

N

y el número obtenido al invertir el orden de los dígitos de

N

es un cuadrado perfecto?

How many two-digit positive integers

N

have the property that the sum of

N

and the number obtained by reversing the order of the digits of

N

is a perfect square?

4

5

6

7

8

Respuesta: E

Conceptos:dígitos perfect squares

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe

N=10x+y

y súmale el número con los dígitos invertidos

Write

N=10x+y

and add its reversal

Pista grande:

Determina cuándo

11(x+y)

puede ser un cuadrado, con

1\le x\le9

y

0\le y\le9

Determine when

11(x+y)

, with

1\le x\le9

and

0\le y\le9

, can be square

Solución:

La suma es

11(x+y).

Como

1\le x+y\le18,

solo es un cuadrado cuando

x+y=11,

lo que da

121.

El dígito de las decenas

x

puede ser cualquiera de

2,3,\ldots,9,

con

y=11-x.

Hay

8

enteros, así que E es la respuesta correcta.

The sum is

11(x+y).

Since

1\le x+y\le18,

this is square only when

x+y=11,

giving

121.

The tens digit

x

can be any of

2,3,\ldots,9,

with

y=11-x.

There are

8

integers, so E is correct.