1997 AMC 12 Problema 18

Question

Una lista de enteros tiene moda

32

y media

22.

El menor número de la lista es

10.

La mediana

m

pertenece a la lista. Si se reemplazara el elemento

m

por

m+10,

la media y la mediana de la nueva lista serían

24

y

m+10,

respectivamente. Si, en cambio, se reemplazara

m

por

m-8,

la mediana de la nueva lista sería

m-4.

¿Cuál es el valor de

m

?

A list of integers has mode

32

and mean

22.

The smallest number in the list is

10.

The median

m

of the list is a member of the list. If the list member

m

were replaced by

m+10,

the mean and median of the new list would be

24

and

m+10,

respectively. If

m

were instead replaced by

m-8,

the median of the new list would be

m-4.

What is

m?

16

17

18

19

20

Respuesta: E

Conceptos:media median moda

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Un aumento total de

10

eleva la media en

2

, lo cual determina la longitud de la lista

A total increase of

10

raises the mean by

2

, determining the list length

Pista grande:

Ordena los cinco elementos y usa los dos cambios de mediana indicados para identificar los elementos contiguos a

m

Order the five entries and use the two stated median changes to identify the entries beside

m

Solución:

La lista tiene

\frac{10}{2}=5

elementos. Se escriben como

10\le a\le m\le b\le c.

Al reemplazar

m

por

m+10

, ese valor se convierte en la mediana, por lo que

b\ge m+10

y

c\ge m+10;

como la moda es

32,

debe cumplirse

b=c=32.

La suma original es

110,

de modo que

a+m=36.

Al reemplazar

m

por

m-8

, la mediana pasa a ser

a=m-4,

así que

2m-4=36

y

m=20.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The list has

\frac{10}{2}=5

entries. Write them

10\le a\le m\le b\le c.

Replacing

m

by

m+10

makes that value the median, so

b\ge m+10

and

c\ge m+10;

because the mode is

32,

we must have

b=c=32.

The original total is

110,

giving

a+m=36.