1998 AMC 12 Problema 13

Question

Walter lanza cuatro dados estándar de seis caras y observa que el producto de los números de las caras superiores es

144.

¿Cuál de los siguientes no podría ser la suma de las cuatro caras superiores?

Walter rolls four standard six-sided dice and finds that the product of the numbers on the upper faces is

144.

Which of the following could not be the sum of the upper four faces?

14

15

16

17

18

Respuesta: E

Conceptos:factorization análisis por casos

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Factoriza

144=2^4\cdot3^2

en cuatro factores entre

1

y

6

Factor

144=2^4\cdot3^2

using four factors from

1

through

6

Pista grande:

Separa los casos con cero, una o dos caras que muestren

6

Separate the cases with zero, one, or two faces showing

6

Solución:

Entre los resultados posibles están

(4,4,3,3)

con suma

14,

(6,4,3,2)

con suma

15,

(6,6,2,2)

con suma

16,

y

(6,6,4,1)

con suma

17.

Si aparecen dos

6,

las otras dos caras tienen producto

4

y suma a lo sumo

5,

para un total máximo de

17;

los casos con menos

6

tampoco pueden sumar

18

y conservar producto

144.

Por tanto,

18

es imposible, y la respuesta correcta es E.

Valid rolls include

(4,4,3,3)

with sum

14,

(6,4,3,2)

with sum

15,

(6,6,2,2)

with sum

16,

and

(6,6,4,1)

with sum

17.

If two

6

s occur, the other two faces have product

4

and sum at most

5,

giving total at most

17;

the cases with fewer

6

s also cannot total

18

while retaining product

144.

Thus

18

is impossible, and E is correct.

1998 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años