1998 AMC 12 Problema 30

Question

Para cada entero positivo

n,

sea

a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.

Sea

k

el menor entero positivo para el cual la cifra no nula más a la derecha de

a_k

es impar. La cifra no nula más a la derecha de

a_k

es

For each positive integer

n,

let

a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.

Let

k

denote the smallest positive integer for which the rightmost nonzero digit of

a_k

is odd. The rightmost nonzero digit of

a_k

is

1

3

5

7

9

Respuesta: E

Conceptos:prime valuations trailing digits aritmética modular

Nivel de dificultad: 2630

Pista pequeña:

Escribe

a_n=n(n+1)\cdots(n+9)

y compara sus potencias de

2

y

5

Write

a_n=n(n+1)\cdots(n+9)

and compare its powers of

2

and

5

Pista grande:

Una cifra no nula impar en el extremo derecho se vuelve posible por primera vez cuando el bloque de diez términos contiene

5^7

An odd rightmost nonzero digit first becomes possible when the ten-term block contains

5^7

Solución:

Los cinco términos pares de cualesquiera diez enteros consecutivos aportan al menos

2^8.

Por tanto, la cifra no nula final solo puede ser impar cuando el bloque contiene al menos ocho factores de

5,

lo que se hace posible por primera vez cuando contiene

5^7=78125.

Para

n=5^7-9,

el bloque tiene

v_2=9

y

v_5=8,

así que la cifra sigue siendo par. Para

n=5^7-8=78117,

ambas valuaciones son

8.

Al cancelar

2^8 5^8

y multiplicar las cifras de unidades impares restantes se obtiene

\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}

Por consiguiente, la primera cifra no nula final impar es

9,

y la respuesta correcta es E.

The five even terms in any ten consecutive integers contribute at least

2^8.

Thus the rightmost nonzero digit can be odd only when the block contains at least eight factors of

5,

first possible when it contains

5^7=78125.

For

n=5^7-9,

the block has

v_2=9

and

v_5=8,

so the digit remains even. For

n=5^7-8=78117,

both valuations are

8.

Cancelling

2^8 5^8

and multiplying the remaining odd unit digits gives

\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}

Hence the first odd rightmost nonzero digit is

9,

and E is correct.