1951 AMC 12 Problema 9

Question

Se dibuja un triángulo equilátero con lado de longitud

a.

Al unir los puntos medios de sus lados se forma un nuevo triángulo equilátero. Luego se forma un tercer triángulo equilátero uniendo los puntos medios de los lados del segundo, y así sucesivamente sin fin. El límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos dibujados es:

An equilateral triangle is drawn with a side of length

a.

A new equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the first one. Then a third equilateral triangle is formed by joining the midpoints of the sides of the second; and so on forever. The limit of the sum of the perimeters of all the triangles thus drawn is:

Infinito

Infinite

\left(5\dfrac14\right)a

2a

6a

\left(4\dfrac12\right)a

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica perímetro triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Cada triángulo de puntos medios tiene lados de la mitad de la longitud de los del triángulo anterior

Each midpoint triangle has half the side length of the preceding triangle

Pista grande:

Los perímetros forman

3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots

The perimeters form

3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{4}+\cdots

Solución:

El primer perímetro es

3a,

y cada perímetro posterior es la mitad del anterior. Por lo tanto, el total es

\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first perimeter is

3a,

and every later perimeter is half the preceding one. Hence the total is

\begin{aligned} &3a\left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\quad=3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}\\ &\quad=6a. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.