1954 AMC 12 Problema 2

Question

Al eliminar las fracciones, la ecuación

\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}

se puede transformar en

x^2-5x+4=0.

Las raíces de esta última ecuación son

4

y

1.

Entonces las raíces de la primera ecuación son:

The equation

\begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned}

can be transformed by eliminating fractions to the equation

x^2-5x+4=0.

The roots of the latter equation are

4

and

1.

Then the roots of the first equation are:

4

y

1

4

and

1

solamente

1

only

1

solamente

4

only

4

ni

4

ni

1

neither

4

nor

1

4

y alguna otra raíz

4

and some other root

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Comprueba ambas raíces en el denominador de la ecuación original

Check both roots against the denominator in the original equation

Pista grande:

Eliminar un denominador puede introducir un valor para el cual la expresión original no está definida

Clearing a denominator can introduce a value at which the original expression is undefined

Solución:

La cuadrática transformada se factoriza como

(x-1)(x-4)=0.

Sin embargo, la ecuación original tiene denominador

x-1,

así que no está definida en

x=1.

La sustitución de

x=4

es válida y satisface la ecuación original.

Por lo tanto, la única raíz es

4,

y la respuesta correcta es C.

The transformed quadratic factors as

(x-1)(x-4)=0.

However, the original equation has denominator

x-1,

so it is undefined at

x=1.

Substitution of

x=4

is valid and satisfies the original equation.

Thus, the only root is

4,

and the correct answer is C.