1963 AMC 12 Problema 21

Question

La expresión

x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z

tiene:

The expression

x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z

has:

ningún factor lineal con coeficientes enteros y exponentes enteros

no linear factor with integer coefficients and integer exponents

el factor

-x+y+z

the factor

-x+y+z

el factor

x-y-z+1

the factor

x-y-z+1

el factor

x+y-z+1

the factor

x+y-z+1

el factor

x-y+z+1

the factor

x-y+z+1

Agrupa

y-z

como una sola expresión

Group

y-z

as a single expression

Reescribe el polinomio como

x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

Rewrite the polynomial as

x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

Sea

u=y-z.

Los dos grupos se factorizan como

\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}

Por tanto, toda la expresión es

(x+u)(x-u+1),

y uno de sus factores es

x-y+z+1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

u=y-z.

The two groups factor as

\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}

Thus the whole expression is

(x+u)(x-u+1),

and one factor is

x-y+z+1.

Therefore, the correct answer is E.

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