1975 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.

Entonces

x

es igual a

Let

x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.

Then

x

equals

\frac13

\frac12

3-\sqrt6

2\sqrt3-3

ninguna de las anteriores

none of these

Sean

w=\cos36^\circ

y

y=\cos72^\circ

Let

w=\cos36^\circ

and

y=\cos72^\circ

Usa

y=2w^2-1

y

w=1-2y^2

, y después suma las ecuaciones

Use

y=2w^2-1

and

w=1-2y^2

, then add the equations

Sean

w=\cos36^\circ

y

y=\cos72^\circ.

Las identidades de ángulo doble dan

y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.

Al sumarlas se obtiene

\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}

Como

w+y\ne0,

al dividir resulta

w-y=\frac{1}{2}.

Por tanto,

x=\frac{1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set

w=\cos36^\circ

and

y=\cos72^\circ.

The double-angle identities give

y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.

Adding yields

\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}

Since

w+y\ne0,

division gives

w-y=\frac{1}{2}.

Thus

x=\frac{1}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 30 en otros años