1979 AMC 12 Problema 28

Question

Los círculos con centros

A,

B,

y

C

tienen radio

r,

donde

1\lt r\lt2.

La distancia entre cada par de centros es

2.

Si

B'

es el punto de intersección de los círculos con centros

A

y

C

que está fuera del círculo con centro

B,

y

C'

es el punto de intersección de los círculos con centros

A

y

B

que está fuera del círculo con centro

C,

entonces la longitud

B'C'

es

Circles with centers

A,

B,

and

C

each have radius

r,

where

1\lt r\lt2.

The distance between each pair of centers is

2.

If

B'

is the point of intersection of circle

A

and circle

C

which is outside circle

B,

and if

C'

is the point of intersection of circle

A

and circle

B

which is outside circle

C,

then length

B'C'

equals

3r-2

r^2

r+\sqrt{3(r-1)}

1+\sqrt{3(r^2-1)}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:círculo triángulo equilátero semejanza simetría

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Introduce el punto análogo

A'

, exterior al círculo con centro

A

; por simetría,

A'B'C'

es equilátero

Introduce the analogous point

A'

outside circle

A

; symmetry makes

A'B'C'

equilateral

Pista grande:

Usa el centroide común y la altura

\sqrt{r^2-1}

de un triángulo isósceles de lados

r,

r,

y

2

Use the common centroid and the altitude

\sqrt{r^2-1}

of an isosceles triangle with sides

r,

r,

and

2

Solución:

Sea

A'

la intersección exterior análoga de los círculos con centros

B

y

C.

Entonces

A'B'C'

y

ABC

son triángulos equiláteros concéntricos. Si

K

es su centroide común y

M

es el punto medio de

BC,

entonces

\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}

La semejanza da

\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}

Por tanto,

B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

A'

be the analogous outer intersection of the circles centered at

B

and

C.

Then

A'B'C'

and

ABC

are concentric equilateral triangles. If

K

is their common centroid and

M

is the midpoint of

BC,

then

\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}

Similarity gives

\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}

Hence

B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.

Therefore, the correct answer is D.