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1979 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1979 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1979 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

En

\triangle ABC,

E

es el punto medio del lado

BC

y

D

está sobre el lado

AC.

Si la longitud de

AC

es

1

y

\angle BAC=60^\circ,

\angle ABC=100^\circ,

\angle ACB=20^\circ,

y

\angle DEC=80^\circ,

entonces el área de

\triangle ABC

más el doble del área de

\triangle CDE

es

In

\triangle ABC,

E

is the midpoint of side

BC

and

D

is on side

AC.

If the length of

AC

is

1

and

\angle BAC=60^\circ,

\angle ABC=100^\circ,

\angle ACB=20^\circ,

and

\angle DEC=80^\circ,

then the area of

\triangle ABC

plus twice the area of

\triangle CDE

equals

\frac14\cos10^\circ

\frac{\sqrt3}{8}

\frac14\cos40^\circ

\frac14\cos50^\circ

\frac18

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo congruencia (geometría)semejanza triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Prolonga

AB

hasta

F

de modo que

AF=AC

, formando un triángulo equilátero

Extend

AB

to

F

so that

AF=AC

, creating an equilateral triangle

Pista grande:

Elige

G

en

BF

con

\angle BCG=20^\circ

; compara

\triangle BCG

con

\triangle DCE

Choose

G

on

BF

with

\angle BCG=20^\circ

; compare

\triangle BCG

with

\triangle DCE

Solución:

Prolonga

AB

más allá de

B

hasta

F

con

AF=AC=1.

Entonces

\triangle ACF

es equilátero. Elige

G

en

BF

de modo que

\angle BCG=20^\circ.

Las condiciones angulares dan

\triangle FGC\cong\triangle ABC,

mientras que

\triangle BCG\sim\triangle DCE.

Como

E

es el punto medio de

BC,

el factor de semejanza es

2,

así que

[BCG]=4[CDE].

Al descomponer el triángulo equilátero se obtiene

\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].

Al dividir entre

2

, resulta

[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend

AB

through

B

to

F

with

AF=AC=1.

Then

\triangle ACF

is equilateral. Choose

G

on

BF

so that

\angle BCG=20^\circ.

The angle conditions give

\triangle FGC\cong\triangle ABC,

while

\triangle BCG\sim\triangle DCE.

Since

E

is the midpoint of

BC,

the similarity scale is

2,

so

[BCG]=4[CDE].

Decomposing the equilateral triangle gives

\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].

Dividing by

2

yields

[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.

Therefore, the correct answer is B.