1980 AMC 12 Problema 24

Question

Para cierto número real

r,

el polinomio

8x^3-4x^2-42x+45

es divisible por

(x-r)^2.

¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a

r

?

For some real number

r,

the polynomial

8x^3-4x^2-42x+45

is divisible by

(x-r)^2.

Which of the following numbers is closest to

r?

1.22

1.32

1.42

1.52

1.62

Una raíz repetida aparece como un factor lineal al cuadrado

A repeated root appears as a squared linear factor

Factoriza por completo el polinomio cúbico y luego compara la raíz repetida con los decimales dados

Factor the cubic completely and then compare the repeated root with the listed decimals

El polinomio se factoriza como

\begin{aligned} &8x^3-4x^2-42x+45\\ &\qquad=(2x-3)^2(2x+5). \end{aligned}

Así, la raíz repetida es

r=\frac{3}{2}=1.5,

y el número dado más cercano es

1.52.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The polynomial factors as

\begin{aligned} &8x^3-4x^2-42x+45\\ &\qquad=(2x-3)^2(2x+5). \end{aligned}

Thus the repeated root is

r=\frac{3}{2}=1.5,

and the nearest listed number is

1.52.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 24 en otros años