1981 AMC 12 Problema 18

Question

El número de soluciones reales de la ecuación

\frac{x}{100}=\sin x

es

The number of real solutions to the equation

\frac{x}{100}=\sin x

is

61

62

63

64

65

Usa la simetría impar y cuenta primero las soluciones positivas

Use odd symmetry and first count the positive solutions

Solo las semiondas positivas del seno anteriores a

x=100

pueden cortar la recta; trata con cuidado la primera

Only positive sine humps below

x=100

can meet the line, with special care for the first hump

La ecuación tiene simetría impar y posee la solución

x=0.

En

(0,\pi)

hay una solución positiva adicional. Para cada

k=1,2,\ldots,15,

la semionda positiva del seno en

(2k\pi,(2k+1)\pi)

sube por encima de

\frac{x}{100}

y luego baja por debajo, lo que da dos soluciones. No hay soluciones positivas después de

31\pi

, porque la siguiente semionda positiva comienza por encima de

100

, mientras que

|\sin x|\le1.

Por tanto, hay

1+2(15)=31

soluciones positivas, el mismo número de negativas y además el cero:

31+31+1=63.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation is odd-symmetric and has the solution

x=0.

On

(0,\pi)

there is one further positive solution. For each

k=1,2,\ldots,15,

the positive sine hump on

(2k\pi,(2k+1)\pi)

rises above

\frac{x}{100}

and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond

31\pi

, because the next positive hump begins above

100

while

|\sin x|\le1.

Thus there are

1+2(15)=31

positive solutions, the same number negative, and zero itself:

31+31+1=63.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 18 en otros años