1981 AMC 12 Problema 30

Question

Si

a,

b,

c,

d

son las soluciones de la ecuación

x^4-bx-3=0,

entonces una ecuación cuyas soluciones son

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

es

If

a,

b,

c,

d

are the solutions of the equation

x^4-bx-3=0,

then an equation whose solutions are

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

is

3x^4+bx+1=0

3x^4-bx+1=0

3x^4+bx^3-1=0

3x^4-bx^3-1=0

ninguna de estas

none of these

Usa la ausencia del término cúbico para hallar

a+b+c+d

Use the missing cubic term to find

a+b+c+d

Cada expresión de la lista se convierte en el recíproco negativo de una raíz original

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

Las fórmulas de Vieta dan

a+b+c+d=0.

Así, por ejemplo,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

y de manera análoga las raíces nuevas son

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Sustituye

x=-\frac{1}{r}

en

r^4-br-3=0.

Al multiplicar por

x^4

, obtenemos

1+bx^3-3x^4=0,

o bien

3x^4-bx^3-1=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Vieta’s formulas give

a+b+c+d=0.

Thus, for example,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

and similarly the new roots are

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Put

x=-\frac{1}{r}

in

r^4-br-3=0.

Multiplying by

x^4

gives

1+bx^3-3x^4=0,

or

3x^4-bx^3-1=0.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 30 en otros años