1982 AMC 12 Problema 27

Question

Supón que

z=a+bi

es una solución de la ecuación polinómica

\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}

donde

c_0,

c_1,

c_2,

c_3,

c_4,

a,

y

b

son constantes reales e

i^2=-1.

¿Cuál de las siguientes expresiones también debe ser una solución?

Suppose

z=a+bi

is a solution of the polynomial equation

\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}

where

c_0,

c_1,

c_2,

c_3,

c_4,

a,

and

b

are real constants and

i^2=-1.

Which one of the following must also be a solution?

-a-bi

a-bi

-a+bi

b+ai

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)polinomio

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Conjuga toda la ecuación

Conjugate the entire equation

Pista grande:

Compara la ecuación conjugada en

\bar z

con el polinomio original evaluado en

-\bar z

Compare the conjugated equation at

\bar z

with the original polynomial evaluated at

-\bar z

Solución:

Al conjugar la ecuación, cada

i

cambia a

-i

y

z

cambia a

\bar z.

Como los términos de potencia impar también cambian de signo al negar la variable, esta ecuación conjugada es precisamente el polinomio original evaluado en

-\bar z.

Por tanto,

-\bar z=-a+bi

debe ser una raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Conjugating the equation changes each

i

to

-i

and

z

to

\bar z.

Because the odd-powered terms also change sign when the input is negated, this conjugated equation is precisely the original polynomial evaluated at

-\bar z.

Thus

-\bar z=-a+bi

must be a root.

Therefore, the correct answer is C.