1983 AMC 12 Problema 18

Question

Sea

f

una función polinómica tal que, para todo número real

x,

f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.

Para todo número real

x,

f(x^2-1)

es

Let

f

be a polynomial function such that, for all real

x,

f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.

For all real

x,

f(x^2-1)

is

x^4+5x^2+1

x^4+x^2-3

x^4-5x^2+1

x^4+x^2+3

ninguna de estas

none of these

Reescribe el lado derecho como un polinomio en

x^2+1

Rewrite the right side as a polynomial in

x^2+1

Al tomar

t=x^2+1

se obtiene

f(t)=t^2+3t-1

Setting

t=x^2+1

gives

f(t)=t^2+3t-1

Con

t=x^2+1,

\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}

Por tanto,

f(t)=t^2+3t-1.

Al sustituir

t=x^2-1

, obtenemos

\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With

t=x^2+1,

\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}

Hence

f(t)=t^2+3t-1.

Substituting

t=x^2-1

gives

\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 18 en otros años