1983 AMC 12 Problema 23

Question

En la figura adjunta, los cinco círculos son tangentes consecutivamente entre sí y a las rectas

L_1

y

L_2.

Si el radio del círculo mayor es

18

y el del menor es

8,

entonces el radio del círculo central es

In the adjoining figure the five circles are tangent to one another consecutively and to the lines

L_1

and

L_2.

If the radius of the largest circle is

18

and that of the smallest one is

8,

then the radius of the middle circle is

12

12.5

13

13.5

14

Respuesta: A

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Cada par de círculos tangentes consecutivos tiene la misma forma después de un cambio de escala

Every pair of consecutive tangent circles has the same shape after scaling

Pista grande:

Los radios forman una progresión geométrica, de modo que el cuadrado del radio central es el producto de los extremos

The radii form a geometric sequence, so the middle radius squared is the product of the extremes

Solución:

Los centros se encuentran en la bisectriz del ángulo formado por

L_1

y

L_2.

La semejanza de la configuración para cualesquiera dos círculos consecutivos muestra que los radios consecutivos tienen una razón constante. Así, los cinco radios forman una progresión geométrica. Si el radio central es

m,

la simetría de una progresión geométrica de cinco términos da

m^2=8\cdot18,

por lo que

m=12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The centers lie on the angle bisector of

L_1

and

L_2.

Similarity of the configuration for any two consecutive circles shows that consecutive radii have a constant ratio. Thus the five radii form a geometric sequence. If the middle radius is

m,

symmetry of a five-term geometric sequence gives

m^2=8\cdot18,

so

m=12.

Therefore, the correct answer is A.